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Page 1 Cours d’algèbre linéaire MIAS1, premier semestre
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Cours d’alg`ebre linéaire
MIAS1, premier semestre
Raphaël Danchin
Année 2003-2004
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Table des mati`eres
Structures usuelles
5
1 Les nombres complexes
9
1.1 Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.2 Définition d’une loi ⊕ dans R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3 Définition d’une loi ∗ dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Propriétés de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Représentation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Racines n-i`eme de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Résolution d’équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Racine carrée d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Résolution d’équations du second degré dans le cas général . . . . . . . . 20
2 Syst`emes linéaires
21
2.1 Quelques exemples élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Matrice associée `a un syst`eme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Résolution des syst`emes échelonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Syst`emes triangulaires `a diagonale non nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 Syst`emes échelonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Structure de l’ensemble des solutions d’un syst`eme linéaire . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.2 Cas des syst`emes homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Familles de vecteurs
33
3.1 Vecteurs de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 Familles libres et familles liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3
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3.3.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Calcul pratique du rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Déterminants
45
4.1 Définition du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Propriétés élémentaires du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Calcul du déterminant par pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Développement de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Le déterminant et le rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 Résolution d’un syst`eme linéaire par la méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . 57
5 Polynômes
59
5.1 L’ensemble des polynômes `a une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2 Opérations sur K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.3 Propriétés algébriques de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Division des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.3 PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.4 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Fonctions polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.1 Définition des fonctions polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.2 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.3 Polynômes dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Polynômes scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.1 Le théor`eme fondamental de l’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.2 Polynômes irréductibles de C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.3 Polynômes irréductibles de R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Bibliographie
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Structures usuelles
Au cours de vos deux années de MIAS, vous allez découvrir divers domaines des mathéma-
tiques qui, du moins en apparence, n’ont pas toujours de liens évidents entre eux. Certaines des
lois qui régissent les objets considérés, pourtant, ont un caract`ere universel. Ainsi, des notions
comme celles de lois internes, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels vont apparaıtre `a
maintes reprises. Leur caract`ere “unificateur” explique l’importance qu’on leur accorde. Le jeu
consistant `a les identifier est `a la fois “rassurant” et pratique puisque l’on peut d`es lors manipuler
des objets mathématiques sans trop se soucier de leur nature profonde...
Dans cette section préliminaire, nous présentons bri`evement quelques-unes des notions qui
reviendront fréquemment dans ce cours d’alg`ebre du premier semestre
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Mathématiques